理科数学 长沙市2015年高三试卷-湖南师范大学附属中学 高考

1．已知集合M＝{x2－2x<0}，N＝{x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（     ）

2．下列四个命题

p1：∃x∈(0，＋∞)，<；

p2：∃x∈(0，1)，logx>logx；

p3：∀x∈(0，＋∞)，>logx ； 

p4：∀x∈，<logx，

其中的真命题是（      ）

3．在如下图所示的程序框图中输入10，结果会输出（     ）

4．将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为（     ）

5．若实数x，y满足条件，则z＝x＋3y的最大值为（     ）

6．不全相等的五个数a、b、c、m、n具有关系如下：a、b、c成等比数列，a、m、b和b、n、c都成等差数列，则=（     ）

7．已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x、y的正半轴上(含原点)滑动，则·的最大值是（     ）

8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（     ）

9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（     ）

10．已知集合A＝，其中且a3≠0，则A中所有元素之和等于（     ）

11．在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝（       ）．

12．如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为（        ）．

13．若，则f(x)＝（      ）．

14．在函数f(x)＝aln x＋(x＋1)2（x>0）的图象上任取两个不同的点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，总能使得f(x1)－f(x2)≥4(x1－x2)，则实数a的取值范围为（       ）．

15．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝（       ），若an＝145，则n＝（       ）.

16．设.

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，求当时y＝g(x)的最大值．

17．某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱乐节目，选手进入正赛前需通过海选，参加海选的选手可以参加A、B、C三个测试项目，只需通过一项测试即可停止测试，通过海选．若通过海选的人数超过预定正赛参赛人数，则优先考虑参加海选测试次数少的选手进入正赛．甲选手通过项目A、B、C测试的概率为分别为、、， 且通过各次测试的事件相互独立．

（1）若甲选手先测试A项目，再测试B项目，后测试C项目，求他通过海选的概率；若改变测试顺序，对他通过海选的概率是否有影响？说明理由；

（2）若甲选手按某种顺序参加海选测试，第一项能通过的概率为p1，第二项能通过的概率为p2，第三项能通过的概率为p3，设他通过海选时参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望(用p1、p2、p3表示)；并说明甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛．

18．如图，△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BC＝6，且BD＝1，cos∠ADB＝.

（1）求证：平面AEC⊥平面BCED；

（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

19．等比数列{an}中的前三项a1、a2、a3分别是下面数阵中第一、二、三行中的某三个数，且三个数不在同一列．

（1）求此数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn.

20．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆的右焦点F和上顶点B.

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．

21．已知函数．

（1）当a＝0时，求f(x)的单调区间；

（2）求证：对任意实数a<0，有.