填空题16.0分
理科数学

22.如图,

曲线由两个椭圆和椭圆组成,

成等比数列时,称曲线为“猫眼曲线”.

(1)若猫眼曲线过点,且的公比为,求猫眼曲线的方程;

(2)对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆所得弦的中点为,交椭圆所得弦的中点为,求证:为与无关的定值;

(3)若斜率为的直线为椭圆的切线,且交椭圆于点为椭圆上的任意一点(点与点不重合),求面积的最大值.

正确答案及相关解析

正确答案

(1)

(2)略;

(3)

解析

(1)

,                            

;              

(2)设斜率为的直线交椭圆于点

线段中点

  

存在且

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程与性质,考查椭圆与直线的位置关系,考查化简运算能力与对新定力的概念的即时学习能力.

解题思路

(1)根据定义求得猫眼曲线Γ的方程;

(2)设交点,由中点公式可得,联立方程,化简可得,同理可得,两式相除消去,即证为与无关的定值

(3)设直线的方程为,联立方程,化简,从而可得的方程,同理可得的方程,再利用两平行线间距离表示三角形的高,再求|AB|,从而求得最大面积.

易错点

1.对新定义的“猫眼曲线”的概念的不理解,即时学习能力不够;

2.解析几何中繁琐的化简容易出错,特别是带字母的化简运算.

知识点

椭圆的定义及标准方程 圆锥曲线中的范围、最值问题 圆锥曲线的定点、定值问题