22.如图,
曲线由两个椭圆:和椭圆:组成,
当成等比数列时,称曲线为“猫眼曲线”.
(1)若猫眼曲线过点,且的公比为,求猫眼曲线的方程;
(2)对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆所得弦的中点为,交椭圆所得弦的中点为,求证:为与无关的定值;
(3)若斜率为的直线为椭圆的切线,且交椭圆于点,为椭圆上的任意一点(点与点不重合),求面积的最大值.
(1),;
(2)略;
(3).
(1),
,
,
;
(2)设斜率为的直线交椭圆于点,
线段中点
由,
得
存在且,,
本题主要考查椭圆的标准方程与性质,考查椭圆与直线的位置关系,考查化简运算能力与对新定力的概念的即时学习能力.
(1)根据定义求得猫眼曲线Γ的方程;
(2)设交点,由中点公式可得,联立方程,化简可得,同理可得,两式相除消去,即证为与无关的定值;
(3)设直线的方程为,联立方程,化简,从而可得的方程,同理可得的方程,再利用两平行线间距离表示三角形的高,再求|AB|,从而求得最大面积.
1.对新定义的“猫眼曲线”的概念的不理解,即时学习能力不够;
2.解析几何中繁琐的化简容易出错,特别是带字母的化简运算.