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已知函数

27.设

28.证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.【考查方向】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解析

由已知，函数的定义域为，

，

所以.

当时，在区间上单调递增，

在区间上单调递减；

当时，在区间上单调递增.

解题思路

首先对函数求导，得，然后再求导得.利用导数的符号即得其单调性.此题分和两种情况讨论.

易错点

不会确定分类的标准导致出错或不分类；

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

由，解得.

令.

则，.

故存在，使得.

令，.

由知，函数在区间上单调递增.

所以.

即.

当时，有

考查方向

本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.

解题思路

要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0.所以我们应考虑求的极小值.由，解得，代入得.是否存在令使得呢？为此，令.

因为，故存在，使得

易错点

找不到解决问题的思路导致无法入手。

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