选择题5.0分
理科数学

5.如图所示,酒杯的杯体轴截面是抛物线x2=2py (p>0)的一部分,若将半径为r(r>0)的玻璃球放入杯中,可以触及酒杯底部(即抛物线的顶点),则r的最大值为(    )

A

B

1

C

2

D

4

正确答案及相关解析

正确答案

B

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难。(1)直接按照步骤来求(2)要注意对参数的讨论(3)涉及恒成立问题,转化成求二次函数的最值,这种思路是一般解法,往往要利用对称轴.

考查方向

本题主要考查了抛物线与圆的位置关系,在近几年的各省高考题出现的频率较低。

解题思路

本题考查抛物线与圆的位置关系,解题步骤如下:

(1)由题可知,已知抛物线上一点(2,2),得抛物线方程为x2=2y。

(2)设小球圆心(0,r),抛物线上点(x,y)

则点(x,y)到圆心距离平方为:r2=x2+(y-r)2=2y+(y-r)2=y2+2(1-r)y+r2

若r2最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底

故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧,所以1-r≥0,所以r≤1,

所以0<r≤1,

故答案为:0<r≤1.

易错点

本题易在判断线是否在面上发生错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质