18. (本小题14分)
已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
(1)原方程为.
由此得抛物线焦点为,准线方程为.
(2)见解析
(1)由抛物线过点,代入原方程得,
所以,原方程为.
(2)
法一:
∵轴
设,根据题意显然有
若要证为中点
只需证即可,左右同除有
即只需证明