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综合题14.0分
理科数学

设函数,，其中

26.求的单调区间；

27. 若存在极值点，且，其中，求证：；

28.设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

考察知识点

  • 导数的加法与减法法则

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

的单调递减区间为，单调递增区间为，.

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅰ）解：由，可得.

下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，

进而.

又

，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，

使得即可

当时，在上单调递减

   

递减，成立

当时，

解析

本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（Ⅲ）欲证在区间上的最大值不小于，只需证在区间上存在，

使得即可

当时，在上单调递减

   

递减，成立

当时，

考查方向

本题考查了导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式等知识点。

解题思路

（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

易错点

第二问不知如何就参数的范围进行讨论导致失分。

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