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综合题14.0分
理科数学

在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M，N分别为PB，PC中点．

19.（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；

20.（Ⅱ）求二面角B﹣AM﹣C的大小；

21.（Ⅲ）在BC上是否存在点E，使得EN⊥平面AMN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∵M，N分别是PB，PC中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC∥AD

又∵AD⊂平面PAD，MN⊄平面PAD

所以MN∥平面PAD．

考查方向

直线与平面平行的判定．

解题思路

推导出MN∥BC∥AD，由此能证明MN∥平面PAD．

易错点

直线与平面平行的判定定理，由线线平行推出线面平行

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

C

解析

过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，

因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，

如图建立空间直角坐标系，                    

设AB=2，则A（﹣1，0，0），C（1，1，0），

M（，0，），B（1，0，0），N（，，），

则，

设平面CAM法向量为，

由，得，

令x1=1，则，即

平面ABM法向量

考查方向

二面角的平面角及求法

解题思路

过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AM﹣C的大小．

易错点

认真审题，寻找法向量，

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

存在点E，使得EN⊥平面AMN

设E（1，λ，0），则，

由可得，

所以在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，

此时．

考查方向

满足条件的点是否存在的判断与求法

解题思路

设E（1，λ，0），则，由此利用向量法能求出在BC存在点E，使得EN⊥平面AMN，此时．

易错点

向量法的合理运用．

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