已知数列{}的首项为1, 为数列{}的前n项和, ,其中q>0, .
23.若 成等差数列,求an的通项公式;
24.设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.
(Ⅰ);
(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.
又由得到,故对所有都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列,可得,即,则,
由已知,,故 .
所以.
本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第(Ⅰ)问中,已知的是的递推式,在与的关系式中,经常用代换(),然后两式相减,可得的递推式,利用这种方法解题时要注意;
本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第二问易错
(II)证明:由双曲线的性质可知,
由(I)可得,为首项为1,公比为的等比数列
故,即
∴为首项为1,公比为的等比数列,通项公式为
∴
∴
原式得证.
(II)证明:由双曲线的性质可知,
由(I)可得,为首项为1,公比为的等比数列
故,即
∴为首项为1,公比为的等比数列,通项公式为
∴
∴
原式得证.
本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第(Ⅱ)问中,不等式的证明用到了放缩法,这是证明不等式常用的方法,本题放缩的目的是为了求数列的和.另外放缩时要注意放缩的“度”.不能太大,否则得不到结果.
本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第二问易错