已知函数，其中.-答案和解析-微考场-微学网

已知函数，其中.

27. 讨论的单调性；

28. 设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；

29. 若关于的方程有两个正实根，求证：

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.

解析

（I）解：由=，可得==，其中，且.

下面分两种情况讨论：

（1）当为奇数时.

令=0，解得，或.

当变化时，，的变化情况如下表：

考查方向

1.导数的运算；

解题思路

利用导数的运算、导数的几何意义解答。

易错点

不会分类讨论。

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

(II)见解析；

解析

（II）证明：设点的坐标为，则，.曲线在点处的切线方程为，即.令，即，则.

由于在上单调递减，故

考查方向

导数的几何意义；

解题思路

利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法.

易错点

不会利用导数的几何意义来解答。

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

(III)见解析.

解析

（III）证明：不妨设.由（II）知.设方程的根为，可得，当时，在上单调递减.又由（II）知，可得.

类似地，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，，即对于任意的，.

考查方向

利用导数研究函数性质、证明不等式.

解题思路

分类讨论思想、函数思想和划归思想，综合分析问题和解决问题的能力。

易错点

难度大做不出来。

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