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综合题12.0分
理科数学

某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）.该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励40慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍）.游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案.

23.设闯过关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为，试求出的表达式；

24.如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

，，；

解析

第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，

∴，

第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，

∴，

第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，

∴.

考查方向

本题考查等差数列以及等比数的前项和公式的应用以及等差，等比数列基本量的计算，本题是一道简单题.

解题思路

第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为，由此能求出；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是，公差也为的等差数列，由此能求出的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是，公比为的等比数列，由此能求出的表达式；

易错点

本题易错在不能确定等差数列以及等比数列模型

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

若我是一名闯关者，当你能冲过的关数小于时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于时，应选用第三种奖励方案.

解析

令，即，解得，

∵且，∴恒成立，

令，即，当时，该不等式显然成立，当时，

，

而当时，，

不等式成立，同样可计算得当时，成立.

∴当

考查方向

本题考查数列的综合应用，考查数列与不等式的关系，考查一元二次不等式以及指数不等式的解法,本题是一道中档题.

解题思路

）令，即，解得.由，知恒成立.令，即，解得.故当时，最大；当时，.由此能够选出最佳的选择奖励方案.

易错点

本题易错在不能够理解题意以及找到获益最大的分割点.

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