6.设A,B是有限集,定义d(A,B)=card(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中的元素个数,
命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件;
命题②:对任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C),
试题分析:根据充分性和必要性判断出命题①正确;根据集合间的关系判断出命
题②正确。
命题①:对任意有限集A,B,若“A≠B”,则A∪B≠A∩B,则card(A∪B)>car(A∩B),
故“d(A,B)>0”成立,
若d(A,B)>0”,则card(A∪B)>card(A∩B),则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故
命题①成立,
命题②,d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),d(B,C)=card(B∪C)-card
(B∩C),
∴d(A,B)+d(B,C)=card(A∪B)-card(A∩B)+card(B∪C)-card(B∩C)=[card
(A∪B)+card(B∪C)]-[card(A∩B)+card(B∩C)]
≥card(A∪C)-card(A∩C)=d(A,C),故命题②成立,
故选:A:
根据充分必要条件的条件进行判断命题①;借助新定义和集合的运算判断命
题②,从而得出结论.
充分必要条件要从充分性和必要性两个方面来证明.