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综合题14.0分
文科数学

已知函数

26.求的单调区间;

27.设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

28.若方程有两个正实数根且,求证:.

考察知识点

  • 利用导数研究函数的单调性
  • 利用导数证明不等式
  • 利用导数求参数的取值范围

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第1小题正确答案及相关解析

正确答案

 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

解析

试题分析：由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

考查方向

本题主要考查导数的运算、导数的几何意义．

解题思路

给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式.

易错点

导数函数性质与原函数单调性的关系.

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

, ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

构造函数的性质与所求问题的联系

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

导数的几何意义及导函数与原函数之间的联系

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