21．已知函数（为常数），其图象是曲线．（1）当时，求函数的单调减区间；（2）设函数的导函数为，若存在唯...-答案和解析-微考场-微学网

21．已知函数（为常数），其图象是曲线．

（1）当时，求函数的单调减区间；

（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；

（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）当时，．令，解得，

的单调减区间为．

（2），由题意知消去，得有唯一解．令，则，以在区间，上是增函数，在上是减函数，又

考查方向

本题考查了利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程

解题思路

（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；

（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则

存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．

易错点

第二问中的方程根的问题转化成最值问题

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

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