综合题12.0分
文科数学

20.如图,椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)直线与椭圆的另一个交点为,与圆的另一个交点为.是否存在直线,使得?  若存在,求出直线的斜率;若不存在,说明理由.

正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)

解析

(Ⅰ)因为椭圆的左顶点在圆上,所以.

又离心率为,所以,所以,

所以,   所以的方程为.

(Ⅱ)设直线AP的方程为

因为圆心到直线的距离为

所以

考查方向

本题主要考查椭圆的定义以及直线与椭圆相交产生的弦长问题,难度中档,属高考重要考点。圆锥曲线在高考中以椭圆为主,主要考察圆锥曲线的定义,直线与圆锥曲线相交产生的弦长、面积的最值和范围问题,以及定点和定值问题,计算量较大。

解题思路

将比例进行转化:,最后只需求AQ与AP的长度。

易错点

第二问不能把比例进行转化,而试图去求PQ的长度,却无法求出来。

知识点

椭圆的定义及标准方程 圆锥曲线的定点、定值问题 圆锥曲线中的探索性问题