理科数学 2014年高三试卷 月考

1．已知为虚数单位,则复数在复平面上所对应的点在（      ）

2．已知全集，集合，则为（      ）

3．若展开式中第32项与第72项的系数相同，那么展开式的最中间一项的系数为（      ）

4．已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的（      ）

5． 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是（      ）

6． 设数列的前项和为，若，则（      ）

7.函数的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线与函数的图像交于C、B两点，则 （      ）

8．设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足，对于恒成立，则（      ）

9. 下图是用模拟方法估计圆周率的程序框图，表示估计的结果，则图中空白框内应填入（      ）

10. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心在轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．今使“凸轮”沿轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（      ）

11. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱髙为4，体积为16，则这个球的表面积是__________。

12． 已知、满足约束条件，若目标函数的最大值为7,则的最小值为__________。

13. 已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点在该椭圆上运动，则的重心的轨迹的方程为_____________________。

14. 已知函数在处取得极值，且函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为__________。

15. 如图，平面与平面交于直线，A，C是平面内不同的两点，B，D是平面内不同的两点，且A，B．C．D不在直线上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断错误的是__________。

①若AB与CD 相交，且直线AC平行于时，则直线BD与可能平行也有可能相交；

②若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与平行；

③若存在异于AB，CD 的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线；

④M，N两点可能重合，但此时直线AC与不可能相交；

16. 函数的导函数的部分图像如图所示,其中点为的图像与轴的交点,为图像与轴的两个交点, 为图像的最低点．

（1）求曲线段与轴所围成的区域的面积；

（2）若,点的坐标为(0,),且  ，求在区间的取值范围。

17．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下：

（Ⅰ）求的值和的数学期望；

（Ⅱ）若一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

18.如图在四面体中， 平面，，是的中点，点是的中点，点在线段上且

（1）   证明平面;

（2）若，求二面角的大小。

19．已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与椭圆相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（1）求，的值；

（2）若上存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立，求出所有P的坐标与的方程。

20．在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4．

（1）求（1，3，40，2）的逆序数；

（2）已知n+2个不同数的排列的逆序数是2．

        ①求的逆序数an

        ②令

21．已知，函数．

（1）若，求函数的极值；

（2）是否存在实数,使得恒成立？若存在,求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由．