综合题15.0分
文科数学

如图,在三棱锥中,∠ABC=90°,AB=AC=2,,在底面ABC的射影为BC的中点,D为的中点.

18.证明: ⊥平面;

19.求直线和平面所成的角的正弦值.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析;

解析

利用线面垂直的判定定理证得结论成立;

证明:∵AB=AC=2,D是的中点.

∴,

∵BC∥,

∴,

∵⊥面ABC,∥AO,

∴

∵BC∩AO=O,

∴⊥平面;

考查方向

本题考查了空间几何体的性质,直线平面的垂直问题,空间向量的运用,空间想象能力,计算能力,属于中等题.

解题思路

连接AO,,根据几何体的性质得出,利用直线平面的垂直定理判断.

易错点

空间向量的计算.

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

;

解析

建立坐标系如图

∵在三棱柱中,∠BAC=90°,AB=AC=2,,

∴O(0,0,0),B(0,,0),,

即,,,

设平面的法向量为,

,即得出,

得出,

考查方向

本题考查了空间几何体的性质,直线平面的垂直问题,空间向量的运用,空间想象能力,计算能力,属于中等题.

解题思路

利用空间向量的垂直得出平面的法向量,根据与数量积求解余弦值,即可得出直线和平面所成的角的正弦值.

易错点

空间向量的计算.