理科数学 2015年高三试卷 月考

1. 已知集合，则（    ）

2. 复数（为虚数单位）,则复数的模为（    ）

3. 设 则“ ”是“直线与直线垂直”的（    ）条件。（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）

4. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于（     ）

5. 已知正四棱锥的底面边长是,侧棱长为,则该正四棱锥的表面积是（    ）

6. 从集合中任取个不同的数，这个数的和为的倍数概率为（    ）

7. 在中，点是线段的中点，若，则的最小值是（    ）

8.  若，则的值为（    ）

9. 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，动点，则线段长度的最小值为（    ）

10. 已知数列满足，, ,则的值为（     ）

11. 已知函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是（    ）

12. 若，且，则的最小值为（    ）

13. 设函数在区间上有定义，若对其中任意恒有，则称是上的“凹函数”。若在上为“凹函数”，则的取值范围是（    ）

14. 已知椭圆，点为其长轴的等分点，分别过这五点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，则10条直线的斜率乘积为（    ）

15. 在中，角所对的边分别为，已知。

（1）当，且的面积为时，求的值；

（2）当时，求的值。

16. 如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是平行四边形，且⊥，分别是的中点。

（1）求证：平面；

（2）若，垂足为，求证：平面。

17. 已知曲线：，曲线：。曲线的左顶点恰为曲线的左焦点。

（1） 求的值；

（2） 若曲线上一点的坐标为，过点作直线交曲线于两点。直线交曲线 于两点。若为中点，

① 求直线的方程；

② 求四边形的面积。

18. 一条宽为的两平行河岸有村庄和供电站，村庄与的直线距离都是，与河岸垂直，垂足为现要修建电缆，从供电站向村庄供电。修建地下电缆、水下电缆的费用分别是万元、万元.

（1） 如图①,已知村庄与原来铺设有电缆，现先从处修建最短水下电缆到达对岸后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；

（2） 如图②，点在线段上，且铺设电缆的线路为。若，，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值。

19. 已知无穷数列中，是首项为，公差为的等差数列；是首项为，公比为的等比数列（其中），并对任意的，均有成立。

（1）当时，求；

（2）若，试求的值；

（3）判断是否存在（），使得成立？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

20. 已知函数。

（1）若求的单调区间；

（2）求证：当时，；

（3）若对任意的都成立（其中是自然对数的底），求常数的最小值。

21．已知直线的参数方程（为参数）,圆的极坐标方程:。

（1）将直线的参数方程化为普通方程,圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求圆上一点到直线的最短距离。

22. 如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，求的值。

23. 如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，为的中点，在线段上。

（1）若平面，求；

（2）设，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。

24. 已知常数，函数。

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）若存在两个极值点且，求的取值范围。