综合题12.0分
理科数学

20.椭圆的中心在原点,焦点分别在轴与轴上,它们有相同的离心率,并且的短轴为的长轴,的四个焦点构成的四边形面积是.

(1)求椭圆的方程;

(2)设是椭圆上非顶点的动点,与椭圆长轴两个顶点的连线分别与椭圆交于点.

①求证:直线斜率之积为常数;

②直线与直线的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由.

正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

试题分析:本题属于圆锥曲线中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,

(1)直接按照步骤来求

(2)要注意对参数的讨论.

解:(1)依题意

由对称性,四个焦点构成的四边形为菱形,

且面积

解得:

所以椭圆

(2)①设

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系,属于高考中的高频考点.

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系,解题步骤如下:

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。



易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

直线的倾斜角与斜率 椭圆的定义及标准方程 圆锥曲线的定点、定值问题