16.若存在实数、使得直线与线段（其中，）只有一个公共点，且不等式对于任意成立，则正实数的取值范围为__

16.若存在实数、使得直线与线段（其中，）只有一个公共点，且不等式对于任意成立，则正实数的取值范围为________.

正确答案及相关解析

∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，

∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，

即，或；

画出它们表示的可行域，

a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，

由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，

∵dmin=

那么a2+b2的最小值为：d2=．

由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b

本题主要考查了线性规划有关知识、三角函数基本关系式、基本不等式的性质

由直线与线段有一个公共点，可知（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．得到可行域，用线性规划求原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，v即a2+b2的最小值．由题意可得≥20（a2+b2）min=4，再利用基本不等式的性质即可得出答案．

线性规划、基本不等式的性质