【选修4-4:坐标系与参数方程】
已知圆的参数方程为(,为参数),将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变得到曲线;以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
31.求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
32.设为曲线上的动点,求点与曲线上点的距离的最小值,并求此时点的坐标.
的普通方程为;的直角坐标方程为
解:(Ⅰ)由已知曲线的参数方程为为参数),
则的普通方程为;
由:,
由互化公式得的直角坐标方程为
根据伸缩变换公式可得的参数方程,消参可得普通方程.将先按两角和差公式展开,根据公式可将其化简为直角坐标方程.
参数方程和普通方程的互化,极坐标方程和直角坐标方程间的互化
,此时点
设点到直线:的距离为,
当,即时,
,此时点
根据的参数方程可设,由点到线的距离公式可求得点到的距离.用化一公式将其化简可求得的最值,同时可得点的坐标
三角函数求最值