综合题12.0分
理科数学
19． 如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等．
（1）求证：直线
（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？
考察知识点
- 棱柱、棱锥、棱台的体积
- 空间中直线与直线之间的位置关系
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正确答案及相关解析
正确答案
（1）略；
（2）需要
解析
（1）如图，
连接
则
在正方形
对角线
在
∴
又
∴
∴
（2）边长为3米，
棱锥的底面积为
考查方向
本题主要考查立体几何中两直线相互垂直的判定以及简单多面体的体积公式，考查逻辑推理能力以及计算能力．
解题思路
题（1）的证明，先由线面垂直的判定定理证得线面垂直，再由线面垂直的性质定理证得线线垂直．
题（2）的求解，先求得四棱锥的底面积以及高，然后利用四棱锥的体积公式求解即得．
易错点
线线垂直与线面垂直的相互转化，条件缺一不可．题（1）的证明，在证明线面垂直时，必须是平面外的直线分别垂直于平面上的两条相交直线，才能得到线面垂直．
知识点
棱柱、棱锥、棱台的体积
空间中直线与直线之间的位置关系
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