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23．已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．

（1）若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；

（2）若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；

（3）求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．

正确答案及相关解析

正确答案

（1）2；

（2）证明略；

（3）证明略，面积为．

解析

（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，

所以，

在等腰直角中，

圆心到直线的距离为，

，同理，

（2）由题知，直线关于原点对称，

因为圆的圆心为原点，

所以

考查方向

本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查学生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力，是难题．解析几何的综合应用在近几年各省市的高考试卷中频频出现，是高考的热点问题，往往以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为载体，涉及各类曲线的定义与方程、各类曲线的性质，与曲线的轨迹方程的求解、直线与圆锥曲线的位置关系等知识交汇命题．

解题思路

题（1），先找到两直线分单位圆成长度相等的四段弧的位置，求得所截得的弦长，然后利用原点到直线距离公式求得的值，从而求得的值；

题（2），先证四边形为平行四边形，再证对角线垂直且相等，从而证得四边形为正方形；

题（3），分类讨论说明椭圆的内接正方形有且只有一个．

易错点

找不到直线与圆或者椭圆的正确的位置关系，从而无法解题．

知识点

直线与圆相交的性质直线与椭圆的位置关系直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

Version 2.3.3

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