14.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，ABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体...-答案和解析-微考场-微学网

14.已知球的直径PQ=4，A、B、C是该球球面上的三点，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，ABC是正三角形，则棱锥P-ABC的体积为_________________.

正确答案及相关解析

设球心为M，三角形ABC截面小圆的圆心为0，∵ABC是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，∴P在面ABC的投影O是等边△ABC的重心（此时四心合一）∵PQ是直径，∴∠PCQ=90°.∴PC=4cos30°=2 ，∴PO=2cos30°=3.

OC=2sin30°=，O是等边△ABC的重心，∴OC=OH，∴等边三角形ABC的高

OH=，AC=÷sin60°=3.

则三棱锥P-ABC体积=PO•S△ABC=×3×××3=.

空间几何体的结构特征

考察知识点