解：（1）由已知，椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0)．

∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，

∴b＝c＝1，a＝.

所求椭圆方程为                     

（2）右焦点F(1,0)，直线l的方程为y＝x－1.

解得

∴

（3）假设在线段OF上存在点M(m,0)(0<m<1)

使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形．

因为直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．

其中为邻边的平行四边形是菱形