20.已知AB是抛物线上相异的的两个动点,且满足
(Ⅰ)求证:直线AB恒过一定点,并求出该点坐标;
(Ⅱ)取抛物线上一点(点横坐标),其关于y轴的对称点为。过、 作圆Q(Q是y轴正半轴一点),使抛物线上除点、外,其余各点均在圆Q外,求当圆Q半径取得最大值时的标准方程.
解:
(Ⅰ)由已知可得直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+b,
联立抛物线方程得:
由,可得=1
(Ⅱ)设圆心Q坐标为(0,q)
当与重合时,则、与O重合,圆Q: 圆与抛物线切与原点,此时0<q≤1
当与不重合时,设为,由对称性不妨设
则过
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