选择题5.0分
理科数学
10.已知函数
A
B
C
D
正确答案及相关解析
正确答案
B
解析
∵f(x+1)为奇函数，即f(x+1)=﹣f(﹣x+1)，即f(x)=﹣f(2﹣x)．
当x∈(1，2)时，2﹣x∈(0，1)，∴f(x)=﹣f(2﹣x)=﹣log2(2﹣x)．
又f(x)为偶函数，即f(x)=f(﹣x)，于是f(﹣x)=﹣f(﹣x+2)，
即f(x)=﹣f(x+2)=f(x+4)，故 f(x)是以4为周期的函数．
∵f(1)=0，∴当8＜x≤9时，0＜x﹣8≤1，f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8)．
由
故选B.
考查方向
本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．
解题思路
由f(x+1)为奇函数，可得f(x)=﹣f(2﹣x)．由f(x)为偶函数可得f(x)=f(x+4)，故 f(x)是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f(x)=f(x﹣8)=log2(x﹣8)．由log2(x﹣8)+2=﹣1得x的值．
易错点
函数与方程历年都是高考考查的重点与热点，且常考常新，但万变不离其宗，函数的“零点”“极点”“创新点”无一例外是考查的“ 关键点”与“根本点”.
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