理科数学 常州市2014年高三试卷 期末

1．设集合，，则=（    ）

2． 若（，i为虚数单位），则的值为（    ）

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则a的值为（    ）

4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名。现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为（    ）

5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为（    ）

6．函数的最小正周期为（     ）

7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料。从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为（    ）

8．已知实数，满足约束条件则的最大值为（    ）

9．若曲线：与曲线：在处的切线互相垂直，则实数a的值为（    ）

10．给出下列命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面。

则其中所有真命题的序号为（    ）

11．已知，等比数列中，，，若数列的前2014项的和为0，则的值为（     ）

12．已知函数f（x）＝若，则实数k的取值范围为（    ）

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（    ）

14．在平面直角坐标系中，已知圆O：，点，M，N为圆O上不同的两点，且满足．若，则的最小值为（    ）

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．设向量，

（1）若，，求角A；

（2）若，，求的值。

16．如图，在直三棱柱中，AB⊥BC，E，F分别是，的中点。

（1）求证：EF∥平面ABC；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）若，求三棱锥的体积。

17．设等差数列的公差为d，前n项和为，已知，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为互不相等的正整数，且等差数列满足，，求数列的前n项和。

18．在平面直角坐标系中，椭圆E:的右准线为直线l，动直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，射线OM分别交椭圆及直线l于P，Q两点，如图，若A，B两点分别是椭圆E的右顶点，上顶点时，点的纵坐标为（其中为椭圆的离心率），且。

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中项，那么是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由。

19．几名大学毕业生合作开设打印店，生产并销售某种产品。已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出元。假设该产品的月销售量（件）与销售价格（元/件）（）之间满足如下关系：

①当时，；

②当时，。设该店月利润为（元），月利润=月销售总额－月总成本。

（1）求关于销售价格的函数关系式；

（2）求该打印店月利润的最大值及此时产品的销售价格。

20．已知函数，

（1）当时，求函数的极大值；

（2）求函数的单调区间；

（3）当时，设函数，若实数满足：且，，求证：。

21．【选做题】

在A、B、C、D 四小题中只能选做两题。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A．选修4-1：几何证明选讲

      如图，等腰梯形ABCD内接于，AB∥CD。过点A作的切线交CD的延长线于点E。

     求证：

B．选修4-2：矩阵与变换

     已知直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，若直线过点（1,1），求实数a的值。

C．选修4-4：坐标系与参数方程

     在极坐标系中，已知点，直线，求点P到直线的距离。

D．选修4-5：不等式选讲

     已知，，求证：。

22．如图，三棱锥P－ABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点O，D分别是AB，PB的中点，PO⊥AB，连结CD。

（1）若，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；

（2）若二面角A－PB－C的余弦值的大小为，求PA。

23．设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集。

（1）若M=，直接写出所有不同的有序集合对（A,B）的个数；

（2）若M=，求所有不同的有序集合对（A,B）的个数。