综合题12.0分
理科数学

如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBCADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为边AD的中点,异面直线PACD所成的角为90°.

21.在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;

22.若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅰ)在梯形ABCD中,ABCD不平行.

延长ABDC,相交于点MM∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:

由已知,BCED,且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CMEB.

EB平面PBECM平面PBE

所以CM∥平面PBE.

解析

(I)延长,交直线于点

中点,

∴四边形为平行四边形,

解题思路

本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.

易错点

本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.本题易在第一问找点时出错.

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ).

解析

(Ⅱ)由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,

所以CD⊥平面PAD.

从而CD⊥PD.

所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以PDA=45°.

设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.

过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA⊥平面ABCD,

从而PA⊥CE.

于是CE⊥平面PAH.

所以平面PCE⊥平面PAH.

过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.

所以APH是PA与平面PCE所成的角.

在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,

所以AH=.

在Rt△PAH中,PH== ,

所以sinAPH= =.

解题思路

本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.

易错点

本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.本题易在第一问找点时出错.