已知数列满足：，，且．记集合．-答案和解析-微考场-微学网

已知数列满足：，，且．记集合．

28.若，写出集合的所有元素；

29.若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

30.求集合的元素个数的最大值．

第1小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

试题分析：（Ⅰ），利用可求得集合M的所有元素为6，12，24

（Ⅰ）由已知可知：

考查方向

本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．

解题思路

即考查了数列（分段形函数）求值，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题.

易错点

分段函数形数列通项公式求值.

第2小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）证明见解析；

解析

试题分析：（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，an是3的倍数.

（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，

考查方向

本题考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．

解题思路

考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题.

易错点

归纳法证明.

第3小题正确答案及相关解析

正确答案

（III ）8．

解析

试题分析：（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大值．

（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，

①若中有3的倍数，由（2）知：所有的都是3的倍数，所以都是3的倍数，所以除以9的余数为为3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12，除以9余6且是4的倍数只有24，除以9余0且是4的倍数只有36，则M

考查方向

本题考查等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．

解题思路

考查了数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，适合选拔优秀学生.

易错点

数列元素分析.

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