21.节能环保日益受到人们的重视,水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题.某地有三家工厂,分别位于矩形的两个顶点、及的中点处,km,km,为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与、等距离的一点处,建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道、、.设(弧度),排污管道的总长度为km.
(1)将表示为的函数;
(2)试确定点的位置,使铺设的排污管道的总长度最短,并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km).
22.给定数列,记该数列前项中的最大项为,即;该数列后项中的最小项为,即;.
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的;
(2)若是数列的前项和,且对任意有其中为实数,且.
①设,证明数列是等比数列;
②若数列对应的满足对任意的正整数恒成立,求实数的取值范围.
23.已知直线、与曲线分别相交于点、和、,我们将四边形称为曲线的内接四边形.
(1)若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧,求的值;
(2)若直线与圆分别交于点、和、,求证:四边形为正方形;
(3)求证:椭圆的内接正方形有且只有一个,并求该内接正方形的面积.